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Fonctionnement et calcul d'un prêt

1. Pincipe du crédit

Un crédit est un prêt d’une somme d’argent, appelée capital, en échange d’une contrepartie financière, appelée intérêt. Il est déterminé par plusieurs caractéristiques :

Son montant
Sa durée de remboursement
Son taux d’intérêt

Ces paramètres déterminent la mensualité, la somme d’argent remboursée chaque mois. Celle-ci inclut le remboursement du capital et des intérêts.

Exemple : Un emprunt de 250 000 € sur 20 ans à un taux de 3% correspond à des mensualités de 1 386.49 € pendant 20 ans.

Il y a plusieurs types de crédits, avec des montants, taux d’intérêts et durées de remboursements différents. Ils sont listés ci-dessous dans l’ordre croissant du taux d’emprunt :

Crédit à taux zéro (PTZ) --> Taux de 0%
Crédit immobilier --> Taux entre 3 et 4 % actuellement
Crédit travaux --> Taux > 5%
Crédit renouvelable --> Taux > 15 %
Etc.

Le coût du crédit est directement relié à son taux. Le fonctionnement est l’exact opposé de l’intérêt, comme sur un livret A. Sur un livret A, il y a une somme d’argent qui, chaque année, est augmentée du taux d’intérêt :

S’il y a 10 000 €, et un taux d’intérêt de 2%, les intérêts gagnés sont de 0.02 x 10 000 = 200 €
S’il y a 20 000 €, et un taux d’intérêt de 3.5%, les intérêts gagnés sont de 0.035 x 20 000 = 700 €

Ce calcul est valable chaque année. Ainsi les intérêts vont augmenter avec le temps :

S’il y a 10 000 €, et un taux d’intérêt de 2%. Les intérêts gagnés la première année sont de 200 €. Il y a donc 10 200 € la deuxième année. Les intérêts gagnés la deuxième année sont de 0.02 x 10 200 = 204 €, et ainsi de suite. C’est ce qu’on appelle les intérêts composés. Ils ont une tendance exponentielle sur le très long terme.

Le taux du crédit est le fonctionnement opposé. La banque a prêté une somme d’argent et, chaque année, elle calcule l’intérêt dû en fonction de ce qui est toujours prêté :

S’il y a 200 000 € prêtés la première année, et un taux d’emprunt de 4%, l’intérêt est de 0.04 x 200 000 € = 8 000 €. Le paiement de ces 8 000 € ne paie que les intérêts dus, il faut également rembourser en plus le capital prêté petit-à-petit.
S’il y a 190 000 € prêtés la deuxième année, car 10 000 € ont été remboursés la première année (+ 8 000 € d’intérêts, soit 18 000 € sur l’année), l’intérêt est de 0.04 x 190 000 € = 7 600 €.
Le coût de l’intérêt diminue chaque année, donc, à remboursement mensuel constant, le capital remboursé augmente davantage chaque année. On constate néanmoins que le remboursement sur une longue durée d’un emprunt avec un taux, même faible, est conséquent.

Le taux d’intérêt sur le crédit est calculé chaque année. Le coût total n’est pas le taux appliqué une seule fois sur le montant total emprunté !

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Nota : Le remboursement d’un emprunt est en fait réalisé sur un taux périodique. Si le remboursement se fait une fois par an, les intérêts sont calculés sur l’année, comme évoqué dans l’exemple ci-dessus. Si le remboursement se fait une fois par mois, le taux appliqué est mensuel. C’est ce qui est usuellement utilisé pour les emprunts auprès des organismes bancaires. La banque affiche un taux annuel, mais il est appliqué mensuellement, donc il vaut Taux emprunt / 12.

\[ \text{Coût des intérêts} = \text{Taux d'}\text{emprunt mensuel appliqué chaque mois sur le capital emprunté restant} \]

\[ \begin{aligned} \text{Coût des intérêts} &= \text{Taux d'}\text{emprunt mensuel} \\ &\text{appliqué chaque mois} \\ &\text{sur le capital emprunté restant} \end{aligned} \]

Un crédit immobilier doit être adossé à une assurance, permettant le remboursement du crédit en cas de défaillance de l’emprunteur dans certaines conditions (décès, invalidité, perte d’emploi …). Celle-ci est calculée par un pourcentage appliqué une seule fois sur le montant total emprunté. Par exemple une assurance de 0.5% sur un emprunt de 200 000 € correspond à 0.005 x 200 000 € = 1 000 €. C’est la somme due sur toute la durée de l’emprunt.

\[ \text{Coût de l'}\text{assurance} = \text{Taux d'}\text{assurance appliqué une fois sur le capital total emprunté} \]

\[ \begin{aligned} \text{Coût de l'}\text{assurance} &= \text{Taux d'}\text{assurance} \\ &\text{appliqué une fois} \\ &\text{sur le capital total emprunté} \end{aligned} \]

C’est la différence fondamentale entre le taux du crédit et le taux de l’assurance :

Le taux mensuel du crédit est appliqué chaque mois sur le capital restant à rembourser
Le taux de l’assurance est appliqué une fois sur le montant total emprunté

En conséquence, le coût des intérêts est beaucoup plus important que le coût de l’assurance. Ces deux coûts forment le coût total du crédit. Il est possible qu’il y ait des frais fixes (garanties, hypothèques, dossier) qui s’ajoutent au tout début de l’opération, d’un montant limité à 1 ou quelques % du montant total de l’emprunt. Par exemple pour un emprunt de 200 000 €, ces frais, s’ils existent, pourraient être de 2 000 €.

On a donc :

\[ \text{Coût du crédit} = \text{Coût des intérêts} + \text{Coût de l'}\text{assurance} + \text{Frais fixes} \]

\[ \begin{aligned} \textbf{Coût du crédit} &= \text{Coût des intérêts} \\ &+ \text{Coût de l'}\text{assurance} \\ &+ \text{Frais fixes} \end{aligned} \]

Les différentes offres de crédits peuvent être comparées par leur coût total lorsqu’elles ont la même durée, ou par d’autres outils de simulation lorsque les durées diffèrent. Notre simulateur de comparateur de crédit permet de faire toutes ces comparaisons.

2. Calcul des mensualités

L’élément financier indispensable pour les emprunteurs est la mensualité qu’ils vont payer, plus que le coût des intérêts. En France, les taux d’emprunt sont fixes, ce qui implique que les mensualités sont constantes pendant toute la durée de l’emprunt. Cela permet d’avoir une bonne vision pour piloter son budget et ses remboursements à long terme.

Plus la durée de remboursement est courte, plus la mensualité sera importante, et moins il y aura d’intérêts à payer. Et vice-versa :

Si on emprunte 200 000 € sur 25 ans à 4%, la mensualité est de 1 055.67 €, pour un coût de crédit de 116 702 €
Si on emprunte 200 000 € sur 15 ans à 4%, la mensualité est de 1 479.39 €, pour un coût de crédit de 66 287.65 €

Mensualité = Une partie d'intérêts + Une partie de capital

Mensualité =
Une partie d'intérêts
+ Une partie de capital

Mais comment la calculer ?

2.1 Formule

La mensualité dépend :

Du montant emprunté
De la durée d’emprunt
Du taux d’emprunt

Mensualité = \(\frac{1}{12} \left( \frac{Capital\ emprunté \times Taux\ crédit}{1 - \left(1 + \frac{Taux\ crédit}{12}\right)^{-12 \times Durée\ crédit}} \right) + \frac{Coût\ de\ l'assurance}{Durée\ crédit}\)

Mensualité =
\(\frac{1}{12}\left(\frac{Capital\ emprunté \times Taux\ crédit}{1 - \left(1 + \frac{Taux\ crédit}{12}\right)^{-12 \times Durée\ crédit}}\right)
+ \frac{Coût\ de\ l'assurance}{Durée\ crédit}\)

La composante liée au paiement de l’assurance est simple à calculer, on divise le coût de l’assurance par le nombre de mois de remboursement.

2.2 Démonstration

On peut démontrer mathématiquement cette formule.

Les mensualités sont calculées chaque mois dans le cas d’un remboursement à taux fixe d’un emprunt, qui vaut Taux emprunt / 12.

Considérons :

Mensualité = M
Capital emprunté = \(C_0\)
Capital restant à rembourser au mois n°1 = \(C_1\)
Taux emprunt mensuel = \(T\)
Durée d'emprunt en mois = \(n\)

A la fin du mois n°1, le capital restant à rembourser est égal au capital emprunté + les intérêts du premier mois liés au taux, moins une mensualité.

\(C_1 = C_0 + C_0 \times T - M = C_0 \left( 1 + T \right) - M\) [1]

A la fin du mois n°2, le capital restant à rembourser est égal au capital restant à rembourser du mois n°1 + les intérêts de ce capital restant à rembourser, moins une mensualité.

\(C_2 = C_1 + C_1 \times T - M = C_1 \left( 1 + T \right) - M\) [2]

Et en remplaçant C1 par [1], on obtient :

\(C_2 = \left( C_0 (1 + T) - M \right) \times (1 + T) - M = C_0 (1 + T)^2 - M(1 + T) - M\) [3]

\[ \begin{aligned} C_2 &= \left( C_0 (1 + T) - M \right) \times (1 + T) - M \\ &= C_0 (1 + T)^2 - M(1 + T) - M \end{aligned} \] [3]

En continuant le processus itératif, on obtient au bout du mois n :

\(C_n = C_0 (1 + T)^n - M \left[ (1 + T)^{n-1} + (1 + T)^{n-2} + \cdots + 1 \right]\) [4]

\(C_n = C_0 (1 + T)^n - M \left[ (1 + T)^{n-1} + (1 + T)^{n-2} + \cdots + 1 \right]\)
[4]

On définit la somme :

\(S = (1 + T)^{n-1} + (1 + T)^{n-2} + \cdots + 1\) [5]

Puis en multipliant [5] de chaque côté par (1+T), on obtient :

\((1 + T) \times S = (1 + T)^n + (1 + T)^{n-1} + \cdots + 1 + T = (1 + T)^n + S - 1\) [6]

\[ \begin{aligned} (1 + T) \times S &= (1 + T)^n + (1 + T)^{n-1} + \cdots + 1 + T \\ &= (1 + T)^n + S - 1 \end{aligned} \] [6]

En isolant, on obtient :

\[ (1 + T) \times S - S = (1 + T)^n - 1 \]
\[ \text{puis } S = \frac{(1 + T)^n - 1}{T} \tag{7} \]

Et en remplaçant S [7] dans l’équation [4], on a :

\[ C_n = C_0 (1 + T)^n - M \frac{(1 + T)^n - 1}{T} \tag{8} \]

Quand tout est remboursé, au bout du dernier mois de la durée d’emprunt, on a Cn=0.

\[ \text{Soit } M = C_0 \cdot T \cdot \frac{(1 + T)^n}{(1 + T)^n - 1} \text{ et donc } M = C_0 \cdot T \cdot \frac{1}{1 - (1 + T)^{-n}} \]

\[ \text{Soit } M = C_0 \cdot T \cdot \frac{(1 + T)^n}{(1 + T)^n - 1} \]
\[ \text{et donc } M = C_0 \cdot T \cdot \frac{1}{1 - (1 + T)^{-n}} \]

D’où la formule des mensualités :

\[ M = C_0 \cdot \frac{\text{Taux annuel}}{12} \cdot \frac{1}{1 - \left( 1 + \frac{\text{Taux annuel}}{12} \right)^{-12 \cdot \text{Durée}} } \]

3. Calcul du coût de l'assurance

Pour identifier uniquement le coût de l’assurance sur toute la durée du crédit il faut appliquer la formule suivante :

\[ \text{Coût de l'assurance} = \text{Taux assurance} \cdot \text{Capital emprunté} \cdot \text{Durée crédit} \]

\[ \text{Coût de l'assurance} = \text{Taux assurance} \cdot \text{Capital emprunté} \]
\[ \cdot \text{Durée crédit} \]

Comme vu précédemment, le taux de l’assurance est appliqué une seule fois sur le montant total emprunté.

4. Calcul du coût des intérêts

La somme des intérêts sur toute la durée du crédit correspond à la formule suivante :

\[ \text{Coût des intérêts} = 12 \cdot \text{Durée crédit} \cdot \text{Mensualité} - \text{Capital emprunté} - \text{Coût assurance} \]

\[ \begin{aligned} \text{Coût des intérêts} &= 12 \cdot \text{Durée crédit} \cdot \text{Mensualité} \\ &- \text{Capital emprunté} \\ &- \text{Coût assurance} \end{aligned} \]

Pour isoler uniquement le coût total des intérêts, on calcule le coût total payé par l’emprunteur sur la durée de l’emprunt, donc le paiement de toutes les mensualités prévues, moins le capital emprunté et le coût de l’assurance.

5. Calcul du coût du crédit

On obtient le coût final du crédit qui vaut la somme de tous les coûts identifiés :

\[ \text{Coût du crédit} = \text{Coût des intérêts} + \text{Coût de l'assurance} + \text{Frais fixes} \]

\[ \text{Coût du crédit} = \text{Coût des intérêts} + \text{Coût de l'assurance} \]
\[ + \text{Frais fixes} \]

Ce montant correspond au coût supplémentaire que paiera l’emprunteur, en plus du remboursement du capital emprunté. C’est cette valeur qui est utilisée pour comparer plusieurs offres de crédit entre elles. Les frais fixes et le coût de l’assurance peuvent avoir un impact non négligeable dans l’évaluation financière d’une offre plutôt qu’une autre. Plus les taux sont faibles, plus les intérêts sont faibles, en revanche le coût de l’assurance et les frais fixes sont sensiblement identiques.

6. Impact du taux sur le coût total du crédit

Pour un emprunt de 200 000 € sur 20 ans, regardons le coût des intérêts et les mensualités pour plusieurs taux d’emprunts différents.

Taux d’emprunt	0%	1%	2%	3%	4%	5%
Mensualité	833 €	920 €	1 012 €	1 109 €	1 212 €	1 320 €
Coût total du crédit	0 €	20 749 €	42 824 €	66 207 €	90 871 €	116 779 €

Taux d’emprunt	7.5%	10%	12.5%	15%	17.5%	20%
Mensualité	1 620 €	1 930 €	2 272 €	2 634 €	3 010 €	3 398 €
Coût total du crédit	186 685 €	263 210 €	345 347 €	432 059 €	522 372 €	615 435 €

On constate que le coût total du crédit augmente fortement pour chaque pourcentage supplémentaire de taux d’emprunt.

A partir de 8%, le coût du crédit est égal au montant emprunté. Il faut donc rembourser 2 fois ce que l’on a emprunté.
A partir de 14%, le coût du crédit est égal à deux fois le montant emprunté. Il faut donc rembourser 3 fois ce que l’on a emprunté.
Et à partir de 20%, il faut rembourser 4 fois ce que l’on a emprunté.

Les taux immobiliers actuels sont aux alentours de 3-4%, ce qui correspond à un remboursement entre 33% et 50% du montant emprunté pour un achat immobilier. Ces taux sont variables et sensibles aux contraintes macroéconomiques. Vers 2021, ils étaient proches de 1% (remboursement de 10% du montant emprunté), et avant les années 2000, certains dépassaient 10% (remboursement de 130%). Un taux de 20% est proche du taux d’usure et correspond à un taux de crédit renouvelable. Le remboursement à ce taux, s’il s’inscrit dans la durée, est extrêmement cher.

Les mensualités subissent la même évolution que le coût total du crédit. En effet, plus il y a d’intérêts à rembourser sur la durée, plus ils doivent être remboursés dans chaque mensualité. Dans une mensualité d’un crédit ayant un taux de 20%, il y a très peu de capital remboursé chaque mois !

Il est donc intéressant pour chaque emprunteur d’obtenir le taux le plus faible. Un très bon dossier immobilier aura aujourd’hui un taux d’environ 3%, contre 4% pour un dossier moyen. Cela représente 20 000 € d’économie sur la durée du crédit, et des mensualités plus faibles de 100 € par mois (soit une variation de 10%), ce qui n’est pas négligeable.

7. Impact du temps sur le coût total du crédit

Le second facteur ayant un impact significatif sur le coût du crédit est le temps. Plus un emprunt est long, plus le coût du crédit est élevé, mais, à taux égal, plus la mensualité est faible. C’est un équilibre que chaque emprunteur doit trouver en fonction de sa situation, vaut-il mieux privilégier un remboursement global moins cher mais avec des mensualités plus importantes, ou le contraire ? Notre simulateur permet de répondre objectivement à cette question.

Etudions l’impact du temps sur le coût total du crédit pour un emprunt immobilier de 200 000 € à 3.5%.

Durée d’emprunt	10 ans	15 ans	18 ans	19 ans
Mensualité	1 978 €	1 430 €	1 249 €	1 202 €
Coût total du crédit	37 326 €	57 357 €	69 853 €	74 098 €

Durée d’emprunt	20 ans	21 ans	22 ans	25 ans
Mensualité	1 159 €	1 121 €	1 087 €	1 001 €
Coût total du crédit	78 380 €	82 702 €	87 062 €	100 375 €

On constate que le coût du crédit augmente avec la durée. Entre un emprunt immobilier sur 15 ans et sur 25 ans, le coût du crédit a doublé mais la mensualité est diminuée de 40%. Entre 20 et 25 ans, il n’y a plus que 25% de différence de coût total pour une mensualité 15% moins élevée. Ce choix initial est déterminant pour le pilotage budgétaire de chacun. Il peut néanmoins être modifié en cours de route auprès de son organisme bancaire, ou adapté par une renégociation si les taux globaux d’emprunts diminuent.